Lycée – Terminale générale – Mathématiques – exercice sur les variations de suites définie… (Fiche pédagogique)

Exercice 1 : Identifier les Variations d’une Suite

Objectif pédagogique : Comprendre et identifier les variations d’une suite définie par récurrence.

Consigne pour l’élève : Lisez attentivement la définition de la suite ci-dessous et identifiez si elle est croissante, décroissante ou constante.

Exercice à réaliser :
Considérez la suite ((u_n)) définie par :

• (u_0 = 2)
• (u_{n+1} = frac{1}{2}u_n + 1)

Déterminez si la suite ((u_n)) est croissante, décroissante ou constante.

Matériel requis : Aucun

Temps estimé : 10 minutes

Corrigé détaillé :
Pour déterminer la variation de la suite, calculons la différence (u_{n+1} – u_n) :
[ u_{n+1} – u_n = frac{1}{2}u_n + 1 – u_n = -frac{1}{2}u_n + 1 ]
La suite est croissante si (-frac{1}{2}u_n + 1 geq 0), soit (u_n leq 2).
Comme (u_0 = 2), et en vérifiant pour quelques termes, on constate que la suite est constante à partir de (u_0).
Donc, la suite est constante.

Différenciation pédagogique :

• Remédiation : Proposez une suite avec une règle de récurrence plus simple, par exemple (u_{n+1} = u_n + 1).
• Approfondissement : Étudiez la convergence de la suite et trouvez sa limite.

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Exercice 2 : Compléter une Suite Numérique

Objectif pédagogique : Compléter une suite définie par récurrence et comprendre son comportement.

Consigne pour l’élève : Complétez le tableau suivant en calculant les premiers termes de la suite.

Exercice à réaliser :
La suite ((v_n)) est définie par :

• (v_0 = 3)
• (v_{n+1} = 2v_n – 1)

Complétez le tableau pour (n = 0) à (n = 5).

(n)	0	1	2	3	4	5
(v_n)	3

Matériel requis : Aucun

Temps estimé : 15 minutes

Corrigé détaillé :
Calculons les termes de la suite :

• (v_1 = 2 times 3 – 1 = 5)
• (v_2 = 2 times 5 – 1 = 9)
• (v_3 = 2 times 9 – 1 = 17)
• (v_4 = 2 times 17 – 1 = 33)
• (v_5 = 2 times 33 – 1 = 65)

Le tableau complété est :

(n)	0	1	2	3	4	5
(v_n)	3	5	9	17	33	65

Différenciation pédagogique :

• Remédiation : Fournir les calculs intermédiaires pour chaque étape.
• Approfondissement : Étudier la formule explicite de la suite.

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Exercice 3 : Créer une Suite et Résoudre un Problème

Objectif pédagogique : Créer une suite définie par récurrence et résoudre un problème complexe.

Consigne pour l’élève : Créez une suite définie par récurrence qui modélise la situation suivante et résolvez le problème.

Exercice à réaliser :
Un jardinier plante un arbre chaque jour. Le premier jour, il plante 2 arbres. Chaque jour suivant, il plante 1 arbre de plus que la veille.
Définissez la suite ((w_n)) représentant le nombre total d’arbres plantés après (n) jours. Calculez le nombre total d’arbres plantés après 10 jours.

Matériel requis : Aucun

Temps estimé : 20 minutes

Corrigé détaillé :
Définissons la suite ((w_n)) :

• (w_0 = 2)
• (w_{n+1} = w_n + (n + 2))

Calculons les termes jusqu’à (n = 10) :

• (w_1 = 2 + 3 = 5)
• (w_2 = 5 + 4 = 9)
• (w_3 = 9 + 5 = 14)
• (w_4 = 14 + 6 = 20)
• (w_5 = 20 + 7 = 27)
• (w_6 = 27 + 8 = 35)
• (w_7 = 35 + 9 = 44)
• (w_8 = 44 + 10 = 54)
• (w_9 = 54 + 11 = 65)
• (w_{10} = 65 + 12 = 77)

Après 10 jours, le jardinier a planté 77 arbres.

Différenciation pédagogique :

• Remédiation : Simplifier le problème en réduisant le nombre de jours.
• Approfondissement : Proposer de trouver une formule explicite pour le nombre total d’arbres plantés après (n

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