Résultats générés
Domaine Mathématiques
Type Révision du bac
Durée 65 min
Séquence Séquence MathématiquesSéance Séance : Révision du bac
Séance : Révision du bac
Pack séance
Supports générés
- Fiche élève distribuable
- Version enseignant détaillée
- Corrigé projetable/imprimable
Mise en route
Partie 1
Titre de la séquence : Séquence Mathématiques
Titre de la séance : Séance : Révision du bac
Objectif : Activer les connaissances sur les fonctions dérivées et leurs applications en économie (coûts, recettes, bénéfices).
Durée estimée : 10 minutes
Déroulement étape par étape pour l’enseignant :
- Distribuer le support élève (énoncé + zone de réponse).
- Lire la consigne à voix haute et s’assurer que tous les élèves ont compris.
- Laisser 3 minutes aux élèves pour répondre individuellement.
- Proposer un temps d’échange en binôme (2 minutes) pour comparer les réponses.
- Mener une mise en commun au tableau en sollicitant les élèves pour justifier leurs réponses.
Consigne élève :
Complétez les phrases suivantes avec les mots ou expressions qui conviennent parmi : dérivée, coût marginal, recette marginale, bénéfice marginal, maximum, minimum.
Support élève imprimable :
Activité rapide : Compléter les phrases
- La fonction qui donne le coût total de production est notée C(q). Sa dérivée C’(q) représente le ________________________.
- Si R(q) est la fonction recette totale, alors R’(q) représente la ________________________.
- Le bénéfice total B(q) est donné par B(q) = R(q) – C(q). Sa dérivée B’(q) = R’(q) – C’(q) permet de trouver le ________________________ du bénéfice.
- Pour maximiser le bénéfice, il faut que B’(q) = 0 et que la dérivée seconde B’'(q) soit ________________________.
Mise en commun suggérée :
- Corriger collectivement au tableau en demandant aux élèves d’expliquer leurs choix.
- Insister sur le lien entre dérivée et interprétation économique (coût marginal, recette marginale, etc.).
- Noter au tableau les formules clés :
- Coût marginal : ( C’(q) )
- Recette marginale : ( R’(q) )
- Bénéfice marginal : ( B’(q) = R’(q) – C’(q) )
Exercice 1 : Étude d’une fonction coût et recette
Exercice 1
Objectif pédagogique
Appliquer les notions de dérivée pour analyser une fonction coût et une fonction recette, puis déterminer le bénéfice maximal.
Consigne élève
On considère les fonctions suivantes définies sur l’intervalle [0 ; 10] :
- Coût total : ( C(q) = q^3 – 6q^2 + 15q + 50 )
- Recette totale : ( R(q) = 20q )
- Calculez le coût marginal ( C’(q) ) et la recette marginale ( R’(q) ).
- Exprimez le bénéfice total ( B(q) ) en fonction de ( q ).
- Calculez la dérivée ( B’(q) ) du bénéfice total.
- Déterminez la quantité ( q ) qui maximise le bénéfice. Justifiez votre réponse.
Support élève imprimable
Exercice 1 : Étude d’une fonction coût et recette
- Coût marginal ( C’(q) ) = ________________________
Recette marginale ( R’(q) ) = ________________________ - Bénéfice total ( B(q) ) = ________________________
- Dérivée du bénéfice ( B’(q) ) = ________________________
- Quantité optimale ( q ) = ________________________
Justification : ________________________________________________________
Matériel requis
Calculatrice autorisée.
Temps estimé
20 minutes
Exercice 2 : Optimisation d’un bénéfice avec contrainte
Exercice 2
Objectif pédagogique
Résoudre un problème d’optimisation sous contrainte en utilisant les dérivées.
Consigne élève
Une entreprise produit un bien dont le coût total est donné par ( C(q) = 0,5q^2 + 10q + 100 ) et la recette totale par ( R(q) = 50q ). La production est limitée à 40 unités.
- Exprimez le bénéfice ( B(q) ) en fonction de ( q ).
- Calculez ( B’(q) ) et trouvez la quantité ( q ) qui maximise le bénéfice sans tenir compte de la contrainte.
- Vérifiez si cette quantité respecte la contrainte de production. Sinon, déterminez le bénéfice maximal sous contrainte.
Support élève imprimable
Exercice 2 : Optimisation d’un bénéfice avec contrainte
- Bénéfice ( B(q) ) = ________________________
- Dérivée ( B’(q) ) = ________________________
Quantité optimale sans contrainte ( q ) = ________________________ - Le bénéfice maximal sous contrainte est atteint pour ( q ) = ________________________
Valeur du bénéfice maximal = ________________________
Matériel requis
Calculatrice autorisée.
Temps estimé
20 minutes
Exercice 3 : Étude d’une fonction bénéfice avec paramètres
Exercice 3
Objectif pédagogique
Manipuler une fonction bénéfice dépendant d’un paramètre et analyser son comportement.
Consigne élève
On considère la fonction bénéfice ( B(q) = -2q^3 + 12q^2 + 30q – 100 ), où ( q ) représente la quantité produite.
- Calculez la dérivée ( B’(q) ) et factorisez-la.
- Résolvez l’équation ( B’(q) = 0 ) et déterminez les quantités critiques.
- Étudiez le signe de ( B’(q) ) et dressez le tableau de variations de ( B(q) ).
- Déduisez la quantité qui maximise le bénéfice et la valeur de ce bénéfice maximal.
Support élève imprimable
Exercice 3 : Étude d’une fonction bénéfice avec paramètres
- Dérivée ( B’(q) ) = ________________________
Factorisation : ( B’(q) = ) ________________________ - Équation ( B’(q) = 0 ) :
Solutions : ( q_1 = ) _______ ; ( q_2 = ) _______ - Tableau de variations :
| ( q ) | 0 | ( q_1 ) | ( q_2 ) | 10 |
|———|—|———–|———–|—-|
| Signe de ( B’(q) ) | | | | |
| Variations de ( B(q) ) | | | | | - Quantité optimale ( q ) = ________________________
Bénéfice maximal = ________________________
Matériel requis
Calculatrice autorisée.
Temps estimé
25 minutes
Bilan des acquis
Partie 3
Compétences évaluées :
- Calculer une dérivée et l’interpréter économiquement.
- Résoudre une équation pour trouver un extremum.
- Analyser une fonction (variations, extremum).
Durée estimée : 15 minutes
Barème : 20 points
Support élève imprimable :
Bilan des acquis : QCM et questions ouvertes
-
(2 points) La dérivée de la fonction ( f(x) = 3x^2 – 5x + 2 ) est :
a) ( f’(x) = 6x – 5 )
b) ( f’(x) = 3x – 5 )
c) ( f’(x) = 6x^2 – 5 )
d) ( f’(x) = 3x^2 – 5x ) -
(3 points) On considère la fonction coût ( C(q) = q^3 – 3q^2 + 10q + 20 ). Le coût marginal est donné par :
-
(4 points) Une entreprise a une fonction bénéfice ( B(q) = -q^2 + 8q – 12 ). Déterminez la quantité qui maximise le bénéfice et la valeur de ce bénéfice.
Quantité optimale ( q ) = ________________________
Bénéfice maximal = ________________________ -
(3 points) Vrai ou Faux ? Justifiez.
“Si ( B’(q) = 0 ) et ( B’'(q) > 0 ), alors la fonction bénéfice ( B(q) ) admet un maximum en ( q ).”
Réponse : ________________________
Justification : ________________________________________________________ -
(4 points) On donne la fonction recette ( R(q) = 10q ) et la fonction coût ( C(q) = 2q^2 + 5q + 50 ).
a) Exprimez le bénéfice ( B(q) ).
b) Calculez ( B’(q) ) et trouvez la quantité optimale.a) ( B(q) = ) ________________________
b) ( B’(q) = ) ________________________
Quantité optimale ( q ) = ________________________ -
(4 points) Complétez le tableau de variations de la fonction ( B(q) = -2q^3 + 9q^2 + 12q – 5 ) sur l’intervalle [0 ; 4].
| ( q ) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Signe de ( B’(q) ) | |||||
| Variations de ( B(q) ) |
Référentiels utilisés
4 sources
-
Programme-de-neerlandais-pour-les-classes-de-lycee-general-et-technologique.pdf
-
Programme-de-chinois-pour-les-classes-de-lycee-general-et-technologique.pdf
-
Programme-ditalien-pour-les-classes-de-college.pdf
-
Programme-de-japonais-pour-les-classes-de-lycee-general-et-technologique.pdf
Ressources complémentaires
5 liens
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