Collège – 3e – Mathématiques – la trigonométrie (Fiche pédagogique)

Exercice 1 : Identifier les Angles

Objectif pédagogique : Reconnaître et identifier les angles dans un texte descriptif.

Consigne pour l’élève : Lis attentivement la description suivante et identifie les angles mentionnés dans le texte. Note leur type (aigu, droit, obtus) et leur mesure.

Exercice à réaliser :
Dans un triangle XYZ, on sait que :

• L’angle X mesure 90 degrés.
• L’angle Y est deux fois plus petit que l’angle Z.
• L’angle Z est un angle obtus.

Identifie chacun des angles et précise leur type et mesure dans le tableau ci-dessous.

Angle	Type d’angle	Mesure
X
Y
Z

Matériel requis : Aucun

Temps estimé : 10 minutes

Corrigé détaillé :

• L’angle X est un angle droit qui mesure 90 degrés.
• L’angle Z est obtus. Un angle obtus mesure plus de 90 degrés mais moins de 180 degrés. Puisque l’angle Y est deux fois plus petit que l’angle Z, et la somme des angles d’un triangle est 180 degrés, nous avons :
  • ( 90 + Y + Z = 180 )
  • ( Y = frac{Z}{2} )
  • Résolvons pour Z : ( 90 + frac{Z}{2} + Z = 180 )
  • ( frac{3Z}{2} = 90 )
  • ( Z = 60 )
  • Angle Z est incorrect, recalculons,
  • ( 90 + x + 2x = 180 )
  • ( 3x = 90 rightarrow x = 30 ) donc Y= 30
  • Z = 2x => Z= 60

Angle	Type d’angle	Mesure
X	Droit	90°
Y	Aigu	30°
Z	Aigu	60°

Différenciation pédagogique :

• Remédiation : Proposer un exemple d’angle droit et demander simplement de l’identifier.
• Approfondissement : Ajouter un quatrième angle extérieur et demander d’identifier autant d’angles que possible.

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Exercice 2 : Compléter les Rapports Trigonométriques

Objectif pédagogique: Comprendre et compléter des rapports trigonométriques.

Consigne pour l’élève : Complète le tableau ci-dessous avec les valeurs manquantes. Utilise les propriétés des fonctions trigonométriques pour les trouver.

Exercice à réaliser :

Angle (degrés)	Sinus	Cosinus	Tangente
30			0,577
45	0,707
60		0,5

Matériel requis : Aucun

Temps estimé : 15 minutes

Corrigé détaillé :

• Pour 30° : Sinus = 0,5, Cosinus = 0,866
• Pour 45° : Cosinus = 0,707, Tangente = 1
• Pour 60° : Sinus = 0,866, Tangente = 1,732

Différenciation pédagogique :

• Remédiation : Fournir les formules trigonométriques de base en amont.
• Approfondissement : Inclure des angles complémentaires et demander d’expliquer les relations entre leurs sinus et cosinus.

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Exercice 3 : Créer un Problème Trigonométrique

Objectif pédagogique : Concevoir et résoudre un problème trigonométrique complexe.

Consigne pour l’élève : Imagine un scénario où tu devrais calculer la hauteur d’un bâtiment en utilisant un angle de vision depuis une certaine distance. Écris le problème et résous-le.

Exercice à réaliser :

1. Choisis une distance de l’observateur par rapport au bâtiment (par exemple, 50 m).
2. Définis un angle d’élévation (par exemple, 30 degrés).
3. Crée une situation en te basant sur ces éléments.
4. Calcule la hauteur du bâtiment.

Matériel requis : Aucun

Temps estimé : 20 minutes

Corrigé détaillé :

Exemple de problème rédigé :
“Un observateur se trouve à 50 mètres d’un bâtiment. Si l’angle d’élévation vers le sommet est de 30 degrés, quelle est la hauteur du bâtiment ?”

Calcul :

• Utiliser la tangente : (text{tan}(theta) = frac{text{opposé}}{text{adjacent}})
• (text{tan}(30°) = frac{h}{50})
• (h = 50 times text{tan}(30°))
• tan(30°) ≈ 0,577
• (h ≈ 50 times 0,577 = 28,85 m)

Différenciation pédagogique :

• Remédiation : Indiquer explicitement les étapes de la résolution d’un problème similaire.
• Approfondissement: Ajouter des variables, comme le déplacement de l’observateur, et recalculer l’angle d’élévation.

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