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Comprendre et appliquer la notion de probabilité conditionnelle à travers un arbre pondéré.

Résolvez le problème en utilisant un arbre pondéré et calculez les probabilités demandées.

Un lycée organise une sortie scolaire. On sait que :

• 60% des élèves sont des filles.
• Parmi les filles, 30% ont déjà participé à une sortie similaire.
• Parmi les garçons, 40% ont déjà participé à une sortie similaire.

1. Calculez la probabilité qu’un élève choisi au hasard ait déjà participé à une sortie similaire.
2. Sachant qu’un élève a déjà participé à une sortie similaire, quelle est la probabilité que ce soit une fille ?

Calculatrice, feuille de papier.

15 minutes.

1. P(Participation) = P(Fille) × P(Participation|Fille) + P(Garçon) × P(Participation|Garçon) = 0,6 × 0,3 + 0,4 × 0,4 = 0,18 + 0,16 = 0,34.
2. P(Fille|Participation) = P(Fille ∩ Participation) / P(Participation) = (0,6 × 0,3) / 0,34 ≈ 0,53.

• Remédiation : Proposer un arbre pondéré pré-rempli pour guider les calculs.
• Approfondissement : Ajouter une troisième catégorie (élèves ayant refusé de répondre) et recalculer les probabilités.

Distinguer les événements indépendants et conditionnels dans un contexte réel.

Analysez la situation et déterminez si les événements sont indépendants ou non.

Dans une usine, deux machines produisent des pièces. La machine A produit 70% des pièces et a un taux de défaut de 5%. La machine B produit 30% des pièces et a un taux de défaut de 10%.

1. Calculez la probabilité qu’une pièce soit défectueuse.
2. Sachant qu’une pièce est défectueuse, quelle est la probabilité qu’elle provienne de la machine B ?
3. Les événements “pièce produite par la machine A” et “pièce défectueuse” sont-ils indépendants ?

Calculatrice, feuille de papier.

20 minutes.

1. P(Défaut) = P(A) × P(Défaut|A) + P(B) × P(Défaut|B) = 0,7 × 0,05 + 0,3 × 0,1 = 0,035 + 0,03 = 0,065.
2. P(B|Défaut) = P(B ∩ Défaut) / P(Défaut) = (0,3 × 0,1) / 0,065 ≈ 0,46.
3. Non, car P(Défaut|A) ≠ P(Défaut).

• Remédiation : Fournir un tableau de probabilités jointes pour faciliter les calculs.
• Approfondissement : Introduire une troisième machine et recalculer les probabilités.

Appliquer la probabilité conditionnelle à un problème de diagnostic médical.

Résolvez le problème en utilisant la formule des probabilités conditionnelles.

Un test médical détecte une maladie avec une fiabilité de 95% (c’est-à-dire qu’il donne un résultat positif dans 95% des cas où la personne est malade et dans 5% des cas où elle ne l’est pas). La maladie touche 1% de la population.

1. Calculez la probabilité qu’une personne testée positive soit effectivement malade.
2. Calculez la probabilité qu’une personne testée négative ne soit pas malade.

Calculatrice, feuille de papier.

15 minutes.

1. P(Maladie|Test+) = P(Test+|Maladie) × P(Maladie) / P(Test+) = 0,95 × 0,01 / (0,95 × 0,01 + 0,05 × 0,99) ≈ 0,16.
2. P(Saine|Test-) = P(Test-|Saine) × P(Saine) / P(Test-) = 0,95 × 0,99 / (0,05 × 0,01 + 0,95 × 0,99) ≈ 0,999.

• Remédiation : Utiliser un arbre pondéré simplifié pour visualiser les probabilités.
• Approfondissement : Introduire un deuxième test indépendant et recalculer les probabilités.