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Comprendre l’utilisation des logarithmes pour résoudre des équations exponentielles.

Résolvez les équations suivantes en utilisant les propriétés des logarithmes.

1. Résolvez ( 3^{2x} = 7 ).
2. Trouvez ( x ) dans ( e^{3x} = 10 ).
3. Résolvez ( 5^{x+1} = 20 ).

Calculatrice scientifique.

15 minutes.

1. ( 2x = log_3 7 ) → ( x = frac{log_3 7}{2} ).
2. ( 3x = ln 10 ) → ( x = frac{ln 10}{3} ).
3. ( x+1 = log_5 20 ) → ( x = log_5 20 – 1 ).

• Remédiation : Proposer des équations plus simples comme ( 2^x = 4 ) pour réviser les bases.
• Approfondissement : Introduire des équations avec des bases variables, comme ( a^{bx} = c ).

Appliquer les logarithmes à des situations réelles (décibels, pH).

Calculez les valeurs demandées en utilisant les propriétés des logarithmes.

1. Un son a une intensité de 10⁻⁶ W/m². Calculez son niveau sonore en décibels (dB) avec la formule ( L = 10 log left( frac{I}{I_0} right) ), où ( I_0 = 10^{-12} ) W/m².
2. Un acide a un pH de 3. Calculez sa concentration en ions hydrogène ( [H^+] ) (en mol/L) avec ( pH = -log [H^+] ).
3. Si ( log_2 (x) = 5 ), trouvez ( x ).

Calculatrice scientifique.

20 minutes.

1. ( L = 10 log left( frac{10^{-6}}{10^{-12}} right) = 10 times 6 = 60 ) dB.
2. ( 3 = -log [H^+] ) → ( log [H^+] = -3 ) → ( [H^+] = 10^{-3} ) mol/L.
3. ( x = 2^5 = 32 ).

• Remédiation : Donner des valeurs intermédiaires pour guider le calcul.
• Approfondissement : Proposer des problèmes combinant plusieurs étapes, comme un pH et une intensité sonore.

Résoudre des problèmes complexes impliquant des équations logarithmiques.

Résolvez les problèmes suivants en justifiant chaque étape.

1. La population d’une ville double tous les 10 ans. Si elle était de 50 000 habitants en 2000, combien y aura-t-il d’habitants en 2050 ?
2. Un capital de 1000 € est placé à un taux d’intérêt annuel de 5%. Combien de temps faut-il pour que le capital double ?
3. Résolvez ( log_3 (2x + 1) = 2 ).

Calculatrice scientifique, papier.

25 minutes.

1. ( P(t) = 50,000 times 2^{t/10} ). En 2050, ( t = 50 ) ans → ( P(50) = 50,000 times 2^5 = 1,600,000 ) habitants.
2. ( 1000 times (1,05)^t = 2000 ) → ( (1,05)^t = 2 ) → ( t = frac{ln 2}{ln 1,05} approx 14,2 ) ans.
3. ( 2x + 1 = 3^2 = 9 ) → ( 2x = 8 ) → ( x = 4 ).

• Remédiation : Simplifier les problèmes (ex : population doublant tous les 5 ans).
• Approfondissement : Introduire des taux d’intérêt composés ou des équations logarithmiques plus complexes.