Lycée – 1re générale – Mathématiques – Problème d’optimisation avec étude d’une fonction p… (Fiche pédagogique)

Exercice 1 — Optimisation d’aire

Objectif pédagogique : Comprendre l’utilisation des fonctions polynômes de degré 2 pour résoudre un problème d’optimisation.

Consigne pour l’élève : Détermine les dimensions d’un rectangle ayant le périmètre maximal sous contrainte fixe.

Exercice à réaliser :

• Un agriculteur dispose de 100 mètres de clôture pour créer un enclos rectangulaire.
• Exprime l’aire ( A ) de cet enclos en fonction de la largeur ( x ).
• Trouve les dimensions ( x ) et ( y ) qui maximisent cette aire.

Matériel requis : Aucun

Temps estimé : 20 minutes

Corrigé détaillé :
Let ( x ) soit la largeur du rectangle et ( y ) la longueur. Le périmètre est donné par ( 2x + 2y = 100 ) donc ( y = 50 – x ).
L’aire est donnée par :
( A(x) = x times y = x(50 – x) = 50x – x^2 ).
( A(x) ) est une fonction quadratique de la forme ( -x^2 + 50x ). Le maximum de cette fonction se trouve à son sommet, donné par ( x = -frac{b}{2a} = -frac{50}{-2} = 25 ).
Ainsi, ( x = 25 ) mètres et ( y = 50 – 25 = 25 ) mètres. Les dimensions optimales du rectangle qui maximisent l’aire sont donc ( 25 ) m par ( 25 ) m, et l’aire maximale est ( 625 ) m².

Différenciation pédagogique :

• Remédiation : Proposer des exemples similaires en changeant le périmètre total pour vérifier la compréhension.
• Approfondissement : Étudier l’impact de la variation du périmètre sur la taille de l’aire maximale en gardant la fonction.

Exercice 2 — Coût minimal

Objectif pédagogique: Appliquer l’étude d’une fonction polynôme pour optimiser un coût.

Consigne pour l’élève : Trouvez le format qui minimise le coût de production d’une boîte.

Exercice à réaliser :

• Une société fabrique des boîtes cubiques dont l’aire de la surface totale est 150 cm².
• Le coût de production est donné par ( C(x) = 5x^2 + frac{2400}{x} ), où ( x ) est le côté du cube.
• Calculez la valeur de ( x ) qui minimise le coût.

Matériel requis : Aucun

Temps estimé : 25 minutes

Corrigé détaillé :
Le coût ( C(x) ) est une fonction polynôme de la forme ( 5x^2 + frac{2400}{x} ). Pour minimiser le coût, nous prenons la dérivée et la mettons à zéro :
[ C’(x) = 10x – frac{2400}{x^2} ].
Ensuite, égaliser à zéro :
[ 10x = frac{2400}{x^2} rightarrow 10x^3 = 2400 rightarrow x^3 = 240 rightarrow x = sqrt[3]{240} ].
Approximativement, ( x approx 6.3 ) cm pour minimiser le coût. Cette solution est vérifiée par l’étude de la dérivée seconde :
[ C’'(x) = 10 + frac{4800}{x^3} > 0 ] ce qui confirme un minimum local.

Différenciation pédagogique :

• Remédiation : Redécomposer le problème en pas plus simples avec différentes valeurs pour le coût.
• Approfondissement : Envisager des formes autres que le cube pour des problèmes d’optimisation similaires.

Exercice 3 — Maximum de profit

Objectif pédagogique : Utiliser une fonction quadratique pour déterminer le prix optimisé.

Consigne pour l’élève : Calculez le prix de vente qui maximise le profit.

Exercice à réaliser :

• Une entreprise vend un produit à un prix de ( p ) euros, ce qui lui permet d’écouler ( 1000 – 50p ) unités par mois.
• Le coût de production est 5000 euros fixe mensuels plus 30 euros par unité produite.
• Calculez le prix ( p ) qui maximise le profit mensuel.

Matériel requis : Aucun

Temps estimé : 30 minutes

Corrigé détaillé :
Exprimer le profit ( P(p) ) en fonction du prix :
Recettes : ( R(p) = p(1000 – 50p) = 1000p – 50p^2 ).
Coût : ( C(p) = 5000 + 30(1000 – 50p) = 5000 + 30000 – 1500p ).
Profit :
[ P(p) = R(p) – C(p) = (1000p – 50p^2) – (35000 – 1500p) = -50p^2 + 2500p – 35000 ].
Cette fonction quadratique atteint son maximum lorsque :
[ p = -frac{b}{2a} = -frac{2500}{-100} = 25 ].
Le prix optimal pour maximiser le profit est donc 25 euros.

Différenciation pédagogique :

• Remédiation : Donner des tâches plus courtes avec un ensemble simplifié de données.
• Approfondissement : Analyser l’impact des variations des coûts fixes sur la stratégie de prix.

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🔗 Ressources complémentaires :