Lycée – 1re générale – Mathématiques – calculer sin(x) a partir de cos(x) et inversement

Exercice 1 — Calcul de sin(x) à partir de cos(x) dans un triangle rectangle

Objectif pédagogique : Appliquer la relation fondamentale sin²(x) + cos²(x) = 1 pour déterminer sin(x) connaissant cos(x).
Consigne pour l’élève : Pour chaque angle donné, calculez sin(x) en utilisant la relation trigonométrique ci-dessus. Arrondissez au centième près.
Exercice à réaliser :

1. cos(x) = 0,6 → sin(x) = ?
2. cos(x) = -0,8 → sin(x) = ?
3. cos(x) = 0,3 → sin(x) = ?
   Matériel requis : Calculatrice (optionnelle)
   Temps estimé : 10 minutes
   Corrigé détaillé :
4. sin(x) = √(1 – 0,6²) = √(1 – 0,36) = √0,64 = 0,8
5. sin(x) = √(1 – (-0,8)²) = √(1 – 0,64) = √0,36 = 0,6 (car sin(x) est positif dans le 4e quadrant)
6. sin(x) = √(1 – 0,3²) = √(1 – 0,09) = √0,91 ≈ 0,95
   Différenciation pédagogique :

• Remédiation : Proposer des valeurs de cos(x) comprises entre 0 et 1 uniquement pour simplifier.
• Approfondissement : Demander de justifier le signe de sin(x) en fonction du quadrant de l’angle.

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Exercice 2 — Résolution d’équations trigonométriques

Objectif pédagogique : Résoudre des équations impliquant sin(x) et cos(x) en utilisant leurs relations.
Consigne pour l’élève : Résolvez les équations suivantes en utilisant les relations trigonométriques. Donnez les solutions principales (entre 0 et 2π).
Exercice à réaliser :

1. 2sin²(x) + 3cos²(x) = 1 → x = ?
2. sin(x) = 3cos(x) → x = ?
3. cos(x) = 0,5sin(x) → x = ?
   Matériel requis : Calculatrice (optionnelle)
   Temps estimé : 15 minutes
   Corrigé détaillé :
4. Utiliser sin²(x) = 1 – cos²(x) :
   2(1 – cos²(x)) + 3cos²(x) = 1 → 2 – 2cos²(x) + 3cos²(x) = 1 → cos²(x) = -1 → Pas de solution réelle.
5. sin(x) = 3cos(x) → tan(x) = 3 → x = arctan(3) ≈ 1,249 (solution principale).
6. cos(x) = 0,5sin(x) → tan(x) = 2 → x = arctan(2) ≈ 1,107 (solution principale).
   Différenciation pédagogique :

• Remédiation : Proposer des équations plus simples comme sin(x) = cos(x).
• Approfondissement : Demander de trouver toutes les solutions dans l’intervalle [0, 2π].

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Exercice 3 — Application à un problème concret

Objectif pédagogique : Utiliser les relations entre sin(x) et cos(x) pour résoudre un problème de géométrie.
Consigne pour l’élève : Un triangle rectangle ABC a un angle x tel que cos(x) = 0,4. Calculez sin(x) et déduisez les longueurs des côtés si l’hypoténuse mesure 10 cm.
Exercice à réaliser :

1. Calculez sin(x).
2. Déterminez la longueur du côté opposé à l’angle x.
3. Déterminez la longueur du côté adjacent à l’angle x.
   Matériel requis : Calculatrice (optionnelle)
   Temps estimé : 10 minutes
   Corrigé détaillé :
4. sin(x) = √(1 – 0,4²) = √0,84 ≈ 0,9165.
5. Longueur du côté opposé = hypoténuse × sin(x) ≈ 10 × 0,9165 ≈ 9,165 cm.
6. Longueur du côté adjacent = hypoténuse × cos(x) = 10 × 0,4 = 4 cm.
   Différenciation pédagogique :

• Remédiation : Donner les valeurs de sin(x) et cos(x) déjà calculées.
• Approfondissement : Demander de vérifier le résultat en utilisant le théorème de Pythagore.

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Ressources complémentaires :