Collège – 5e – Mathématiques – Problèmes de constructibilité de triangles (Fiche pédagogique)

Exercice 1 — Détermination d’un triangle possible

Objectif pédagogique : Comprendre et appliquer les conditions de constructibilité d’un triangle à l’aide des longueurs de ses côtés.

Consigne pour l’élève : Détermine si, avec les longueurs indiquées, il est possible de construire un triangle. Si ce n’est pas possible, explique pourquoi.

Exercice à réaliser :

• Longueurs données : (a = 7) cm, (b = 5) cm, (c = 3) cm.
• Longueurs données : (a = 6) cm, (b = 2) cm, (c = 3) cm.
• Longueurs données : (a = 8) cm, (b = 8) cm, (c = 15) cm.

Matériel requis : Aucun

Temps estimé : 15 minutes

Corrigé détaillé :

• Un triangle est possible si et seulement si la somme des longueurs des deux côtés est supérieure à la longueur du troisième côté.
  • Pour (a = 7) cm, (b = 5) cm, (c = 3) cm : (7 + 5 = 12), (7 + 3 = 10), (5 + 3 = 8). Toutes ces sommes sont supérieures à la longueur du côté restant, donc le triangle est possible.
  • Pour (a = 6) cm, (b = 2) cm, (c = 3) cm : (6 + 2 = 8), (6 + 3 = 9), (2 + 3 = 5). (5 < 6), donc le triangle n’est pas possible.
  • Pour (a = 8) cm, (b = 8) cm, (c = 15) cm : (8 + 8 = 16), (8 + 15 = 23), (8 + 15 = 23). (16 = 15) pour le premier cas donc ici un triangle est possible car c’est le cas limite d’un triangle dégénéré.

Différenciation pédagogique :

• Remédiation : Revoir avec l’élève la propriété de la somme des côtés dans un triangle.
• Approfondissement : Proposer des situations de calcul où l’élève doit inventer des longueurs qui permettent, ou non, de former un triangle.

Exercice 2 — Classez les triangles

Objectif pédagogique: Identifier différents types de triangles d’après leurs mesures.

Consigne pour l’élève : Pour chaque jeu de longueurs suivantes, indiquez quel type de triangle ils peuvent former : équilatéral, isocèle ou scalène.

Exercice à réaliser :

• Longueurs : (a = 5) cm, (b = 5) cm, (c = 5) cm
• Longueurs : (a = 4) cm, (b = 4) cm, (c = 6) cm
• Longueurs : (a = 5) cm, (b = 6) cm, (c = 7) cm

Matériel requis : Aucun

Temps estimé : 20 minutes

Corrigé détaillé :

• Pour (a = 5) cm, (b = 5) cm, (c = 5) cm : C’est un triangle équilatéral, car tous les côtés sont égaux.
• Pour (a = 4) cm, (b = 4) cm, (c = 6) cm : C’est un triangle isocèle, car deux côtés sont égaux.
• Pour (a = 5) cm, (b = 6) cm, (c = 7) cm : C’est un triangle scalène, car tous les côtés sont différents.

Différenciation pédagogique :

• Remédiation : Utiliser des règles pour mesurer et comparer des segments sur des découpes de papier.
• Approfondissement : Demander de discuter des spécificités de chaque type de triangle sur ses angles intérieurs.

Exercice 3 — Angles d’un triangle

Objectif pédagogique : Utiliser les propriétés des angles pour comprendre la configuration des triangles.

Consigne pour l’élève : Calculez les angles manquants des triangles suivants. Expliquez si ces triangles peuvent exister.

Exercice à réaliser :

• Angles donnés : (45^circ), (45^circ), (_^circ)
• Angles donnés : (30^circ), (45^circ), (_^circ)
• Angles donnés : (100^circ), (40^circ), (_^circ)

Matériel requis : Aucun

Temps estimé : 25 minutes

Corrigé détaillé :

• Pour les angles (45^circ), (45^circ) : Le troisième angle est (90^circ). C’est un triangle isocèle et rectangle car les angles totaux = (180^circ).
• Pour les angles (30^circ), (45^circ) : Le troisième angle est de (105^circ). Le triangle est possible car la somme fait exactement (180^circ).
• Pour les angles (100^circ), (40^circ) : Le troisième angle est (40^circ). C’est un triangle acutangle normal ; la somme = (180^circ).

Différenciation pédagogique :

• Remédiation : Revoir le concept de somme des angles dans un triangle (toujours (180^circ)).
• Approfondissement : Explorer les angles des triangles dans le contexte de la trigonométrie, tel que l’utilisation de la loi des sinus.

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Ressources complémentaires :