Collège – 4e – Mathématiques – Théorème de Pythagore

Exercice 1 — Calculs directs

Objectif pédagogique : Utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la longueur d’un côté dans un triangle rectangle.

Consigne pour l’élève : À l’aide du théorème de Pythagore, calcule la longueur du côté manquant dans chaque triangle rectangle ci-dessous.

Exercice à réaliser :

1. Un triangle rectangle a pour côtés (a = 5) cm, (b = 12) cm. Calcule la longueur de l’hypoténuse (c).
2. Un triangle rectangle a pour côtés (c = 13) cm, (a = 5) cm. Calcule la longueur du côté (b).

Matériel requis : Règle et calculatrice.

Temps estimé : 15 minutes.

Corrigé détaillé :

1. (c^2 = a^2 + b^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169), donc (c = 13) cm.
2. (b^2 = c^2 – a^2 = 13^2 – 5^2 = 169 – 25 = 144), donc (b = 12) cm.

Différenciation pédagogique :

• Remédiation : Revoir les propriétés des carrés pour aider à mieux comprendre l’élévation au carré.
• Approfondissement : Calculer la longueur des côtés manquants dans des triangles rectangles où les valeurs sont des nombres décimaux ou des radicaux.

Exercice 2 — Cas concrets

Objectif pédagogique: Appliquer le théorème de Pythagore à des situations pratiques.

Consigne pour l’élève : Résous les problèmes en utilisant le théorème de Pythagore.

Exercice à réaliser :

1. Une échelle de 10 m est appuyée contre un mur. Elle atteint une hauteur de 8 m sur le mur. À quelle distance du mur se trouve le pied de l’échelle ?
2. Un terrain de sport rectangulaire mesure 40 mètres de large et 75 mètres de long. Calcule la longueur de la diagonale du terrain.

Matériel requis : Aucun.

Temps estimé: 20 minutes.

Corrigé détaillé :

1. D’après le théorème de Pythagore : (x^2 + 8^2 = 10^2). Donc, (x^2 + 64 = 100). Ainsi, (x^2 = 36), donc (x = 6) m (la distance du mur).
2. (text{Diagonale}^2 = 40^2 + 75^2 = 1600 + 5625 = 7225). La diagonale mesure donc (sqrt{7225} = 85) m.

Différenciation pédagogique :

• Remédiation : Travailler sur d’autres exemples concrets semblables avec des schématisations verbales.
• Approfondissement : Introduire des problèmes en trois dimensions, en utilisant la diagonale d’un prisme rectangulaire.

Exercice 3 — Résolution de problèmes indirects

Objectif pédagogique : Déduire l’applicabilité du théorème de Pythagore dans des situations non explicites.

Consigne pour l’élève : Résous le défi suivant en respectant les quatre étapes de résolution de problème.

Exercice à réaliser :

Un enfant veut construire un petit cerf-volant rectangulaire. Il dispose de deux bâtonnets de 30 cm et un autre de 50 cm et veut s’assurer qu’ils forment un triangle rectangle pour créer un cadre rigide. Vérifie la possibilité de former un triangle rectangle et si oui, quelle sera la mesure de l’hypoténuse.

Matériel requis : Aucun.

Temps estimé : 25 minutes.

Corrigé détaillé :

1. Vérifie si les longueurs peuvent former un triangle : (a + b > c), avec les trois permutations de longueurs. Dans ce cas, valide.
2. ((30)^2 + (30)^2 = 900 + 900 = 1800).
3. ((50)^2 = 2500).
4. Puisque (1800 neq 2500), ils ne peuvent pas former un triangle rectangle car le carré de l’hypoténuse n’est pas égal à la somme des carrés des autres côtés.

Différenciation pédagogique :

• Remédiation : Revisiter les conditions de scalène, isocèle et équilatéral pour fixer les connaissances sur les triangles.
• Approfondissement : Introduire l’idée des triples pythagoriciens afin de proposer des longueurs qui forment directement des triangles rectangles.

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🔗 Ressources complémentaires :