Collège – 3e – Mathématiques – exercices sur l’application du théorème de Thales dont le contexte est l’astronomie

Exercice 1 — Calcul de distances stellaires avec Thalès

Objectif pédagogique : Appliquer le théorème de Thalès pour calculer des distances inaccessibles en astronomie.
Consigne pour l’élève : Utilise le théorème de Thalès pour déterminer la distance entre deux étoiles en tendant des droites parallèles.
Exercice à réaliser :
Un astronome observe deux étoiles A et B, et une troisième étoile C alignée avec elles. Il mesure :

• Distance AB = 120 millions de km
• Distance AC = 80 millions de km
• Distance BC = 40 millions de km
  Calcule la distance entre A et B si un télescope mesure que la distance entre C et B est 20 millions de km de plus que celle entre A et C.
  Matériel requis : Calculatrice, règle graduée (optionnel).
  Temps estimé : 15 minutes.
  Corrigé détaillé :

1. On a deux droites parallèles (tendues entre les étoiles).
2. D’après Thalès : AC/AB = BC/BD.
3. Soit BD = BC + CD = 40 + 20 = 60 millions de km.
4. AC/AB = BC/BD → 80/120 = 40/60 → 2/3 = 2/3 (vérification).
5. La distance AB est bien 120 millions de km.
   Différenciation pédagogique :

• Remédiation : Fournir un schéma simplifié avec les distances.
• Approfondissement : Calculer la distance si les étoiles ne sont pas alignées.

Exercice 2 — Proportionnalité dans les constellations

Objectif pédagogique : Comprendre la proportionnalité via Thalès dans un contexte astronomique.
Consigne pour l’élève : Trouve la taille réelle d’une constellation en utilisant des mesures réduites.
Exercice à réaliser :
Un modèle réduit d’une constellation a :

• Distance entre deux étoiles : 5 cm
• Distance entre deux autres étoiles : 10 cm
  En réalité, la première distance est de 100 années-lumière. Calcule la seconde distance réelle.
  Matériel requis : Aucun.
  Temps estimé : 10 minutes.
  Corrigé détaillé :

1. On a un rapport de réduction : 5 cm / 100 années-lumière = 1/20.
2. La seconde distance réelle = 10 cm * 20 = 200 années-lumière.
   Différenciation pédagogique :

• Remédiation : Utiliser des unités plus familières (ex : km).
• Approfondissement : Calculer la réduction nécessaire pour un modèle à l’échelle.

Exercice 3 — Problème ouvert : Alignement des planètes

Objectif pédagogique : Résoudre un problème complexe en combinant Thalès et logique.
Consigne pour l’élève : Détermine si trois planètes sont alignées en utilisant Thalès.
Exercice à réaliser :
Trois planètes X, Y, Z sont observées. Les distances sont :

• XY = 150 millions de km
• YZ = 75 millions de km
• XZ = 225 millions de km
  Un astronome affirme qu’elles sont alignées. Vérifie en utilisant Thalès.
  Matériel requis : Papier, stylo.
  Temps estimé : 20 minutes.
  Corrigé détaillé :

1. Si alignées, XY/YZ = XZ/YZ → 150/75 = 225/75 → 2 = 3 (faux).
2. Les planètes ne sont pas alignées.
   Différenciation pédagogique :

• Remédiation : Fournir un exemple d’alignement valide.
• Approfondissement : Calculer l’angle entre les planètes.

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