Terminale Générale – Mathématiques – Mathématiques – les logatithmes – Terminale Générale – Mathématiques – Mathématiques

Par /

les logatithmes



Niveau : Terminale Générale – Mathématiques



Discipline : Mathématiques



Sujet : les logatithmes

Essentiel

📚 Les logarithmes (Terminale Générale – Maths)

Niveau : Terminale Générale | Discipline : Mathématiques

1) Mémo express (30 secondes)

  • Fonction logarithme = inverse de l’exponentielle (loga(x) ↔ ay = x).
  • loga(1) = 0 et loga(a) = 1.
  • loga(xy) = loga(x) + loga(y) (règle du produit).
  • loga(xn) = n·loga(x) (règle de la puissance).
  • ln(x) = logarithme en base e (constante d’Euler, ~2.718).
  • loga(x) = ln(x)/ln(a) (changement de base).
  • Fonction strictement croissante si a > 1, décroissante si 0 < a < 1.

2) Notions clés (à connaître)

Définition clé

Fonction logarithme de base a : loga(x) est défini pour x > 0 et a > 0, a ≠ 1.

Il vérifie : aloga(x) = x.

Exemple : log2(8) = 3 car 23 = 8.

Termes clés → Définitions → Exemples flash

  • loga(x) → Logarithme en base a de x → log5(25) = 2.
  • ln(x) → Logarithme naturel (base e) → ln(e) = 1.
  • log10(x) → Logarithme décimal → log10(100) = 2.
  • Dérivée : (loga(x))’ = 1/(x·ln(a)).
  • Primitive : ∫(1/x) dx = ln|x| + C.

À retenir

  • loga(x) = y ⇔ ay = x (équivalence fondamentale).
  • loga(x) = 0 ⇔ x = 1.
  • loga(x) = 1 ⇔ x = a.
  • Attention : loga(0) et loga(-x) n’existent pas pour x > 0.

3) Méthode (comment réussir le jour J)

  1. Vérifier le domaine de définition avant toute manipulation (x > 0).
  2. Simplifier l’expression en utilisant les règles du logarithme (produit, quotient, puissance).
  3. Changer de base si nécessaire (loga(x) = ln(x)/ln(a)).
  4. Résoudre l’équation en transformant en exponentielle si besoin (loga(x) = y ⇔ ay = x).
  5. Dériver en utilisant la formule 1/(x·ln(a)) (ou 1/x pour ln(x)).
  6. Étudier la croissance/ décroissance selon la base a.
  7. Vérifier les solutions dans l’équation originale (risque de solutions parasites).
  8. Rédiger les étapes clairement pour montrer le raisonnement.
  9. Conclure en interprétant le résultat (ex : “la fonction est croissante car a > 1”).

Astuce correcteur / Ce qui rapporte des points

  • Montrer les étapes : un correcteur valorise la clarté du raisonnement, même si le résultat est faux.
  • Utiliser les égalités remarquables : ex. loga(x) + loga(y) = loga(xy) est un gain de temps.
  • Ne pas oublier le domaine : écrire “x > 0” dès le début évite des erreurs.
  • Simplifier avant de résoudre : ex. log2(8x) = 3 + log2(x).

4) Exemple guidé (corrigé expliqué)

Exemple

Énoncé : Résoudre l’équation log3(x) + log3(2x – 1) = 2.

Étape 1 : Domaine

  • Conditions : x > 0 et 2x – 1 > 0 ⇒ x > 0.5.
  • Domaine : x > 0.5.

Étape 2 : Simplification

Utiliser la règle du produit : log3(x) + log3(2x – 1) = log3(x(2x – 1)).

Équation devient : log3(2x² – x) = 2.

Étape 3 : Transformation exponentielle

log3(2x² – x) = 2 ⇔ 3² = 2x² – x ⇔ 9 = 2x² – x.

Soit l’équation : 2x² – x – 9 = 0.

Étape 4 : Résolution

Δ = (-1)² – 4×2×(-9) = 1 + 72 = 73.

Solutions : x = [1 ± √73]/4.

Valeurs : x ≈ 2.39 ou x ≈ -1.89.

Étape 5 : Vérification du domaine

  • x ≈ 2.39 ∈ x > 0.5 → valide.
  • x ≈ -1.89 ∉ domaine → rejeté.

Conclusion : La solution est x = (1 + √73)/4.

5) Erreurs fréquentes (et comment les éviter)

  • Erreur : Confondre loga(x + y) avec loga(x) + loga(y).

    Pourquoi c’est faux : La règle du produit ne s’applique qu’aux produits, pas aux sommes.

    Le bon réflexe : Ne jamais séparer un logarithme de somme.
  • Erreur : Oublier de vérifier le domaine de définition.

    Pourquoi c’est faux : Peut conduire à des solutions non valides (ex. log2(-4) n’existe pas).

    Le bon réflexe : Écrire “x > 0” dès le début et vérifier les conditions après chaque manipulation.
  • Erreur : Confondre ln(x) et log10(x).

    Pourquoi c’est faux : Ces fonctions ont des bases différentes (e vs 10) et des propriétés distinctes.

    Le bon réflexe : Vérifier la base indiquée dans l’énoncé.
  • Erreur : Appliquer loga(xn) = n·loga(x) à loga(x + y)n.

    Pourquoi c’est faux : L’exposant doit porter sur x uniquement.

    Le bon réflexe : Développer (x + y)n si nécessaire avant d’appliquer la règle.
  • Erreur : Négliger la dérivée de loga(x).

    Pourquoi c’est faux : La dérivée inclut ln(a) dans le dénominateur.

    Le bon réflexe : Mémoriser (loga(x))’ = 1/(x·ln(a)).
  • Erreur : Croire que loga(x) = y implique toujours x = ay sans vérifier les conditions.

    Pourquoi c’est faux : Oublier que x doit être positif et a strictement positif et différent de 1.

    Le bon réflexe : Toujours vérifier les conditions avant de conclure.

6) Mnémotechniques & astuces de mémoire

  • Astuce “LN = 1” → “LN est à 1 car e1 = e”.

    Explication : ln(e) = 1 car e1 = e.

    Utilisation : Pour retenir que ln(e) = 1 et que eln(x) = x.
  • Astuce “LOG = INVERSE” → “Le logarithme est l’inverse de l’exponentielle”.

    Explication : Si ay = x, alors loga(x) = y.

    Utilisation : Pour convertir une équation exponentielle en logarithme et vice-versa.
  • Astuce “3 règles = 3 doigts” → “Pouce (produit), index (quotient), majeur (puissance)”.

    Explication : Associer chaque règle à un doigt pour les retenir :

    • Pouce levé : loga(xy) = loga(x) + loga(y)
    • Index et majeur en V : loga(x/y) = loga(x) – loga(y)
    • Majeur pointé vers le haut : loga(xn) = n·loga(x)

    Utilisation : Visualiser la main pour retrouver les règles rapidement.

  • Astuce “BASE = EXPOSANT” → “La base du logarithme devient l’exposant de l’exponentielle”.

    Explication : loga(x) = y ⇔ ay = x.

    Utilisation : Pour transformer une équation logarithmique en exponentielle.
  • Astuce “1/ln(a) = COEFF” → “Le coefficient de la dérivée de loga(x) est 1/ln(a)”.

    Explication : (loga(x))’ = 1/(x·ln(a)).

    Utilisation : Pour ne pas oublier le ln(a) dans la dérivée.

7) Mini-quiz (auto-test)

  1. QCM : Quelle est la valeur de log2(16) ?
    • A) 2
    • B) 4
    • C) 8
    • D) 16

    Réponse : B) 4 (car 24 = 16).

  2. QCM : La fonction f(x) = log0.5(x) est :
    • A) Croissante
    • B) Décroissante
    • C) Constante
    • D) Non définie

    Réponse : B) Décroissante (car 0 < 0.5 < 1).

  3. Calcul : Simplifier log3(9x) – log3(x).

    Réponse : log3(9x/x) = log3(9) = 2.

  4. QCM : La dérivée de f(x) = ln(5x) est :
    • A) 1/(5x)
    • B) 1/x
    • C) 5/(5x)
    • D) 1/(x + 5)

    Réponse : B) 1/x (car f’(x) = 1/(5x) × 5 = 1/x).

  5. Résolution : Résoudre log5(x) = 2.

    Réponse : x = 25 (car 52 = 25).

  6. Vrai/Faux : log2(x + 1) = log2(x) + log2(1) est toujours vrai.

    Réponse : Faux (la règle ne s’applique pas aux sommes).

  7. QCM : Quelle est la valeur de ln(e3) ?
    • A) 1
    • B) 3
    • C) e
    • D) e3

    Réponse : B) 3 (car ln(e3) = 3·ln(e) = 3).

  8. Problème : Trouver x tel que log10(x) + log10(x – 3) = 1.

    Réponse : x = 5 (car log10(x(x – 3)) = 1 ⇒ x(x – 3) = 10 ⇒ x² – 3x – 10 = 0 ⇒ x = 5).

8) Checklist de révision (prête à cocher)

  • Mémoriser les définitions de base : loga(x), ln(x), domaine.
  • Apprendre les 3 règles principales (produit, quotient, puissance).
  • Maîtriser la transformation exponentielle : loga(x) = y ⇔ ay = x.
  • Vérifier systématiquement le domaine de définition (x > 0).
  • S’entraîner à simplifier des expressions logarithmiques complexes.
  • Connaître les dérivées et primitives des fonctions logarithmiques.
  • Pratiquer la résolution d’équations et d’inéquations logarithmiques.
  • Revoir les changements de base et les cas particuliers (base e, base 10).
  • Faire des exercices sur la croissance/décroissance des fonctions logarithmiques.
  • Corriger ses erreurs fréquentes (confusion de règles, domaine oublié).
  • Utiliser les mnémotechniques pour retenir les formules et règles.
  • Simuler un examen en temps limité pour s’entraîner à la rédaction.
  • Vérifier ses calculs étape par étape pour éviter les erreurs d’inattention.
  • Relire les encadrés “À retenir” et “Astuce correcteur” avant l’épreuve.
  • Se tester avec le mini-quiz pour évaluer sa maîtrise.

🧠 Cette fiche a été générée automatiquement par l’IA EduquIA.

Vous voulez la même fiche adaptée à votre besoin (niveau, notion, difficulté) ?

Astuce : vous pouvez générer jusqu’à 3 contenus/jour gratuitement.