Première Générale – Mathématiques – Mathématiques – les fonctions du second degré

Une fonction du second degré est une fonction polynomiale de la forme f(x) = ax² + bx + c, où a, b et c sont des coefficients réels et a ≠ 0.

Ces fonctions représentent des paraboles dans le plan cartésien. Leur sens de variation dépend du signe de a :

• Si a > 0 : parabole ouverte vers le haut (minimum)
• Si a < 0 : parabole ouverte vers le bas (maximum)

La forme canonique d’une fonction du second degré est f(x) = a(x – α)² + β, où (α, β) est le sommet de la parabole.

Pour passer de la forme développée à la forme canonique, on utilise la complétion du carré.

1. Factoriser le coefficient a devant x² et x : f(x) = a[x² + (b/a)x] + c
2. Compléter le carré à l’intérieur des crochets : x² + (b/a)x + (b/2a)² – (b/2a)²
3. Réécrire sous forme canonique : f(x) = a(x + b/2a)² + c – (b²/4a)

La parabole admet un axe de symétrie vertical d’équation x = -b/2a.

Le sommet est le point de coordonnées (-b/2a, f(-b/2a)).

Les racines (solutions de f(x) = 0) se calculent avec le discriminant Δ = b² – 4ac :

• Δ > 0 : 2 racines réelles distinctes
• Δ = 0 : 1 racine réelle double
• Δ < 0 : pas de racine réelle

Pour étudier les variations d’une fonction du second degré :

1. Déterminer le sommet (α, β)
2. Analyser le signe de a pour connaître le sens de variation
3. Conclure sur le minimum (si a > 0) ou le maximum (si a < 0)

Les fonctions du second degré sont fondamentales en mathématiques. Elles permettent de modéliser des phénomènes physiques et économiques.

À retenir :

• Forme générale : f(x) = ax² + bx + c
• Forme canonique : f(x) = a(x – α)² + β
• Discriminant : Δ = b² – 4ac
• Sommet : (-b/2a, f(-b/2a))