Lycée – Terminale technologique – Mathématiques – equation différentielle – Lycée – Terminale technologique – Mathématiques

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Résultats générés

Pack séance complet, interactif et prêt à distribuer
Niveau Lycée – Terminale technologique
Domaine Mathématiques
Type equation différentielle
Durée 65 min



Déroulé de séance prêt à l’emploi

Progression recommandée pour une séance dynamique

Pack séance

1
Mise en route
5-10 min • Activation des prérequis

2
Pratique guidée
15-20 min • Exercices 1 et 2

3
Autonomie
15-20 min • Exercice 3

4
Bilan & évaluation flash
5-10 min • Vérification des acquis

Supports générés

  • Fiche élève distribuable
  • Version enseignant détaillée
  • Corrigé projetable/imprimable




Exercice 1 — Modélisation d’une décroissance radioactive

Prêt à utiliser en classe




Exercice 1


Objectif pédagogique

Résoudre une équation différentielle du premier ordre modélisant une décroissance radioactive, en utilisant la méthode de séparation des variables. Comprendre l’interprétation physique des constantes et des conditions initiales.


Consigne pour l’élève

Un échantillon radioactif contient initialement 100 mg d’un isotope dont la demi-vie est de 5 ans. On note N(t) la quantité de matière radioactive (en mg) à l’instant t (en années).

  1. Montrer que N(t) vérifie l’équation différentielle N’(t) = -kN(t), où k est une constante positive à déterminer.
  2. Résoudre cette équation différentielle avec la condition initiale N(0) = 100.
  3. Calculer la quantité de matière restante après 10 ans.
  4. Déterminer le temps nécessaire pour que la quantité de matière soit réduite à 10 mg.

Exercice à réaliser
  • L’équation différentielle N’(t) = -kN(t) est donnée. La demi-vie T = 5 ans signifie que N(T) = N(0)/2.
  • La solution générale de l’équation est N(t) = N(0) * exp(-kt).
  • Utiliser la condition N(5) = 50 pour trouver k.

Support élève imprimable
  • Énoncé élève :
    Un échantillon radioactif contient initialement 100 mg d’un isotope dont la demi-vie est de 5 ans. On note N(t) la quantité de matière radioactive (en mg) à l’instant t (en années).

    1. Montrer que N(t) vérifie l’équation différentielle N’(t) = -kN(t), où k est une constante positive à déterminer.
    2. Résoudre cette équation différentielle avec la condition initiale N(0) = 100.
    3. Calculer la quantité de matière restante après 10 ans.
    4. Déterminer le temps nécessaire pour que la quantité de matière soit réduite à 10 mg.
  • Bloc à compléter :
    1. Calcul de k :
      N(5) = 50 = 100 * exp(-5k) ⇒ exp(-5k) = 0,5 ⇒ -5k = ln(0,5) ⇒ k = …
    2. Solution de l’équation différentielle :
      N(t) = …
    3. Quantité après 10 ans :
      N(10) = …
    4. Temps pour 10 mg :
      10 = 100 * exp(-kt) ⇒ t = …
  • Zone de réponse claire :
    (Espace pour les calculs et réponses)

Matériel requis

Aucun


Temps estimé

20 minutes


Corrigé détaillé
  1. La décroissance radioactive suit une loi exponentielle. Le taux de décroissance est proportionnel à la quantité présente, d’où N’(t) = -kN(t).
    Calcul de k :
    N(5) = 50 = 100 * exp(-5k) ⇒ exp(-5k) = 0,5 ⇒ -5k = ln(0,5) ⇒ k = ln(2)/5 ≈ 0,1386 an⁻¹.
  2. Solution de l’équation différentielle :
    N(t) = 100 * exp(-0,1386t).
  3. Quantité après 10 ans :
    N(10) = 100 * exp(-0,1386*10) ≈ 25 mg.
  4. Temps pour 10 mg :
    10 = 100 * exp(-0,1386t) ⇒ exp(-0,1386t) = 0,1 ⇒ t = ln(10)/0,1386 ≈ 16,6 ans.

Différenciation pédagogique
  • Remédiation : Proposer un exemple guidé avec des valeurs numériques simplifiées (par exemple, demi-vie de 1 an).
  • Approondissement : Demander de modéliser une croissance exponentielle (par exemple, une population bactérienne) et de comparer les deux types de solutions.

Exercice 2 — Circuit RC et équation différentielle

Prêt à utiliser en classe




Exercice 2


Objectif pédagogique

Résoudre une équation différentielle linéaire du premier ordre issue d’un circuit électrique RC, en utilisant la méthode de variation de la constante. Interpréter les résultats en termes de charge et de décharge d’un condensateur.


Consigne pour l’élève

On considère un circuit RC série alimenté par une tension constante E = 12 V. Le condensateur de capacité C = 10 µF est initialement déchargé. La résistance R vaut 1 MΩ.

  1. Montrer que la tension aux bornes du condensateur u(t) vérifie l’équation différentielle :
    RC * u’(t) + u(t) = E.
  2. Résoudre cette équation différentielle avec la condition initiale u(0) = 0.
  3. Calculer la tension aux bornes du condensateur après 5 secondes.
  4. Déterminer le temps nécessaire pour que la tension atteigne 90 % de sa valeur finale.

Exercice à réaliser
  • L’équation différentielle est RC * u’(t) + u(t) = E.
  • La solution générale est u(t) = E + A * exp(-t/(RC)), où A est une constante déterminée par la condition initiale.
  • La valeur finale de u(t) est E = 12 V.

Support élève imprimable
  • Énoncé élève :
    On considère un circuit RC série alimenté par une tension constante E = 12 V. Le condensateur de capacité C = 10 µF est initialement déchargé. La résistance R vaut 1 MΩ.

    1. Montrer que la tension aux bornes du condensateur u(t) vérifie l’équation différentielle :
      RC * u’(t) + u(t) = E.
    2. Résoudre cette équation différentielle avec la condition initiale u(0) = 0.
    3. Calculer la tension aux bornes du condensateur après 5 secondes.
    4. Déterminer le temps nécessaire pour que la tension atteigne 90 % de sa valeur finale.
  • Bloc à compléter :
    1. Équation différentielle :
      RC = … (en secondes)
      u’(t) + u(t)/RC = E/RC.
    2. Solution générale :
      u(t) = 12 + A * exp(-t/RC).
      Condition initiale : u(0) = 0 ⇒ A = …
    3. Tension après 5 secondes :
      u(5) = …
    4. Temps pour 90 % de la valeur finale :
      0,9 * 12 = 12 + A * exp(-t/RC) ⇒ t = …
  • Zone de réponse claire :
    (Espace pour les calculs et réponses)

Matériel requis

Aucun


Temps estimé

25 minutes


Corrigé détaillé
  1. Équation différentielle :
    RC = 10⁻⁵ * 10⁶ = 10 s.
    u’(t) + u(t)/10 = 1,2.
  2. Solution générale :
    u(t) = 12 + A * exp(-t/10).
    Condition initiale : u(0) = 0 ⇒ 0 = 12 + A ⇒ A = -12.
    Donc u(t) = 12 * (1 – exp(-t/10)).
  3. Tension après 5 secondes :
    u(5) = 12 * (1 – exp(-0,5)) ≈ 4,72 V.
  4. Temps pour 90 % de la valeur finale :
    10,8 = 12 * (1 – exp(-t/10)) ⇒ exp(-t/10) = 0,1 ⇒ t = -10 * ln(0,1) ≈ 23,0 s.

Différenciation pédagogique
  • Remédiation : Proposer un circuit avec des valeurs numériques plus simples (par exemple, RC = 1 s).
  • Approondissement : Demander de tracer la courbe u(t) et d’interpréter le temps de charge à 63 % (constante de temps τ = RC).

Exercice 3 — Modèle de croissance logistique

Prêt à utiliser en classe




Exercice 3


Objectif pédagogique

Résoudre une équation différentielle non linéaire du premier ordre (modèle logistique) en utilisant la méthode de séparation des variables. Interpréter les paramètres du modèle dans un contexte biologique ou démographique.


Consigne pour l’élève

Une population de bactéries croît dans un milieu limité. On note P(t) la taille de la population (en milliers d’individus) à l’instant t (en heures). On suppose que la croissance suit le modèle logistique :
P’(t) = r * P(t) * (1 – P(t)/K),
où r = 0,5 h⁻¹ est le taux de croissance intrinsèque et K = 10 (en milliers) est la capacité maximale du milieu.

  1. Montrer que la solution générale de cette équation différentielle peut s’écrire sous la forme :
    P(t) = K / (1 + A * exp(-rt)).
  2. On suppose que P(0) = 1. Déterminer la constante A et écrire l’expression de P(t).
  3. Calculer la taille de la population après 5 heures.
  4. Déterminer le temps nécessaire pour que la population atteigne 90 % de la capacité maximale K.

Exercice à réaliser
  • L’équation différentielle est P’(t) = 0,5 * P(t) * (1 – P(t)/10).
  • La solution générale est P(t) = 10 / (1 + A * exp(-0,5t)).
  • La condition initiale P(0) = 1 permet de déterminer A.

Support élève imprimable
  • Énoncé élève :
    Une population de bactéries croît dans un milieu limité. On note P(t) la taille de la population (en milliers d’individus) à l’instant t (en heures). On suppose que la croissance suit le modèle logistique :
    P’(t) = r * P(t) * (1 – P(t)/K),
    où r = 0,5 h⁻¹ est le taux de croissance intrinsèque et K = 10 (en milliers) est la capacité maximale du milieu.

    1. Montrer que la solution générale de cette équation différentielle peut s’écrire sous la forme :
      P(t) = K / (1 + A * exp(-rt)).
    2. On suppose que P(0) = 1. Déterminer la constante A et écrire l’expression de P(t).
    3. Calculer la taille de la population après 5 heures.
    4. Déterminer le temps nécessaire pour que la population atteigne 90 % de la capacité maximale K.
  • Bloc à compléter :
    1. Solution générale :
      P(t) = 10 / (1 + A * exp(-0,5t)).
      Condition initiale : P(0) = 1 ⇒ 1 = 10 / (1 + A) ⇒ A = …
    2. Expression de P(t) :
      P(t) = …
    3. Taille après 5 heures :
      P(5) = …
    4. Temps pour 90 % de K :
      9 = 10 / (1 + A * exp(-0,5t)) ⇒ t = …
  • Zone de réponse claire :
    (Espace pour les calculs et réponses)

Matériel requis

Aucun


Temps estimé

30 minutes


Corrigé détaillé
  1. Solution générale :
    P(t) = 10 / (1 + A * exp(-0,5t)).
    Condition initiale : P(0) = 1 ⇒ 1 = 10 / (1 + A) ⇒ A = 9.
    Donc P(t) = 10 / (1 + 9 * exp(-0,5t)).
  2. Taille après 5 heures :
    P(5) = 10 / (1 + 9 * exp(-2,5)) ≈ 7,31 milliers.
  3. Temps pour 90 % de K :
    9 = 10 / (1 + 9 * exp(-0,5t)) ⇒ 1 + 9 * exp(-0,5t) = 10/9 ⇒ exp(-0,5t) = 1/81 ⇒ t = -2 * ln(1/81) ≈ 8,8 heures.

Différenciation pédagogique
  • Remédiation : Proposer un modèle exponentiel simplifié (P’(t) = rP(t)) pour comparer les deux types de croissance.
  • Approondissement : Demander de calculer le point d’inflexion de la courbe P(t) et d’interpréter son sens dans le contexte biologique.


Référentiels utilisés

RAG

1 source

  • Programme d’enseignement du cycle de consolidation (cycle 3) / D’après le BOEN no 31 du 30 juillet 2020 et le BOEN no 25 du 22 juin 2023
    OFFICIEL

    Ouvrir


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