Lycée – Terminale professionnelle – Mathématiques – Calcul de la limite d’une suite numérique

Exercice 1 — Limite d’une suite récurrente simple

Objectif pédagogique : Calculer la limite d’une suite définie par récurrence en identifiant la valeur d’équilibre.
Consigne pour l’élève : Déterminez la limite de la suite ( (u_n) ) définie par ( u_{n+1} = frac{3u_n + 2}{u_n + 4} ) et ( u_0 = 1 ).
Exercice à réaliser :

1. Calculez les premiers termes ( u_1, u_2, u_3 ) pour observer la tendance.
2. Supposons que la suite converge vers ( l ). Écrivez l’équation ( l = frac{3l + 2}{l + 4} ).
3. Résolvez cette équation pour trouver ( l ).
   Matériel requis : Calculatrice (optionnelle)
   Temps estimé : 15 minutes
   Corrigé détaillé :
4. ( u_1 = frac{3 times 1 + 2}{1 + 4} = 1 )
   ( u_2 = frac{3 times 1 + 2}{1 + 4} = 1 )
   La suite semble constante.
5. Équation : ( l = frac{3l + 2}{l + 4} )
   ( l(l + 4) = 3l + 2 )
   ( l^2 + 4l – 3l – 2 = 0 )
   ( l^2 + l – 2 = 0 )
   Solutions : ( l = 1 ) ou ( l = -2 ).
   Seule ( l = 1 ) est cohérente avec ( u_0 = 1 ).
   Différenciation pédagogique :

• Remédiation : Proposer une suite plus simple (ex: ( u_{n+1} = frac{u_n}{2} )) pour comprendre le principe.
• Approfondissement : Étudier la convergence en fonction de ( u_0 ).

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Exercice 2 — Limite d’une suite arithmético-géométrique

Objectif pédagogique : Appliquer la méthode de résolution pour les suites arithmético-géométriques.
Consigne pour l’élève : Trouvez la limite de la suite ( (v_n) ) définie par ( v_{n+1} = 2v_n + 3 ) et ( v_0 = 0 ).
Exercice à réaliser :

1. Calculez ( v_1, v_2, v_3 ) pour identifier le type de suite.
2. Résolvez l’équation de récurrence en posant ( v_n = a times 2^n + b ).
3. Déduisez la limite lorsque ( n ) tend vers l’infini.
   Matériel requis : Aucun
   Temps estimé : 20 minutes
   Corrigé détaillé :
4. ( v_1 = 3 ), ( v_2 = 9 ), ( v_3 = 21 ). Suite croissante.
5. Forme générale : ( v_n = a times 2^n + b ).
   ( v_{n+1} = 2a times 2^n + b = 2v_n + 3 )
   ( 2a times 2^n + b = 2a times 2^n + 2b + 3 )
   Donc ( b = -3 ).
   ( v_0 = a + b = 0 Rightarrow a = 3 ).
   Solution : ( v_n = 3 times 2^n – 3 ).
6. Limite : ( lim_{n to infty} v_n = +infty ).
   Différenciation pédagogique :

• Remédiation : Utiliser une suite géométrique simple (( v_{n+1} = 2v_n )) avant.
• Approfondissement : Étudier le cas où la suite converge.

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Exercice 3 — Limite d’une suite définie par une intégrale

Objectif pédagogique : Lier les suites et les intégrales pour calculer une limite.
Consigne pour l’élève : Soit ( w_n = int_{0}^{1} frac{x^n}{1 + x} , dx ). Montrez que ( (w_n) ) converge et trouvez sa limite.
Exercice à réaliser :

1. Calculez ( w_0 ) et ( w_1 ) pour comprendre le comportement.
2. Étudiez la monotonie de ( (w_n) ) en comparant ( w_{n+1} ) et ( w_n ).
3. Utilisez le théorème des gendarmes pour encadrer ( w_n ).
   Matériel requis : Calculatrice (pour ( w_0 ) et ( w_1 ))
   Temps estimé : 25 minutes
   Corrigé détaillé :
4. ( w_0 = int_{0}^{1} frac{1}{1 + x} , dx = ln(2) approx 0.693 )
   ( w_1 = int_{0}^{1} frac{x}{1 + x} , dx = ln(2) – 1 approx -0.307 )
5. ( w_{n+1} – w_n = int_{0}^{1} frac{x^n – x^{n+1}}{1 + x} , dx = int_{0}^{1} frac{x^n (1 – x)}{1 + x} , dx geq 0 ).
   La suite est croissante.
6. Encadrement : ( 0 leq w_n leq w_0 = ln(2) ).
   Par le théorème des gendarmes, ( (w_n) ) converge vers ( L ).
   En passant à la limite dans l’intégrale : ( L = int_{0}^{1} lim_{n to infty} frac{x^n}{1 + x} , dx = 0 ).
   Différenciation pédagogique :

• Remédiation : Simplifier avec ( int_{0}^{1} x^n , dx ) avant.
• Approfondissement : Étudier la vitesse de convergence.

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Ressources complémentaires :