Lycée – Terminale générale – Mathématiques – Dérivée

Exercice 1 — Calcul de dérivées élémentaires

Objectif pédagogique : Maîtriser le calcul des dérivées de fonctions polynomiales et exponentielles.
Consigne pour l’élève : Calculez les dérivées des fonctions suivantes et vérifiez vos résultats en utilisant les règles de dérivation de base.
Exercice à réaliser :

1. ( f(x) = 3x^4 – 2x^2 + 5x – 1 )
2. ( g(x) = e^{3x} + ln(x) )
3. ( h(x) = frac{1}{x^2} + sqrt{x} )
   Matériel requis : Aucun
   Temps estimé : 15 minutes
   Corrigé détaillé :
4. ( f’(x) = 12x^3 – 4x + 5 )
5. ( g’(x) = 3e^{3x} + frac{1}{x} )
6. ( h’(x) = -frac{2}{x^3} + frac{1}{2sqrt{x}} )
   Différenciation pédagogique :

• Remédiation : Proposer des exercices avec des fonctions plus simples (ex : ( f(x) = x^2 )).
• Approfondissement : Introduire des fonctions composées (ex : ( f(x) = e^{x^2} )).

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Exercice 2 — Dérivée et tangente

Objectif pédagogique : Comprendre le lien entre la dérivée et l’équation de la tangente à une courbe.
Consigne pour l’élève : Pour la fonction ( f(x) = x^3 – 3x^2 + 2 ), trouvez l’équation de la tangente au point d’abscisse ( x = 1 ).
Exercice à réaliser :

1. Calculez ( f(1) ).
2. Calculez ( f’(1) ).
3. Écrivez l’équation de la tangente sous la forme ( y = mx + p ).
   Matériel requis : Aucun
   Temps estimé : 10 minutes
   Corrigé détaillé :
4. ( f(1) = 1 – 3 + 2 = 0 )
5. ( f’(x) = 3x^2 – 6x ) → ( f’(1) = 3 – 6 = -3 )
6. Équation : ( y = -3x + 3 )
   Différenciation pédagogique :

• Remédiation : Donner un exemple avec une fonction linéaire (ex : ( f(x) = 2x + 1 )).
• Approfondissement : Demander de trouver les points où la tangente est parallèle à l’axe des abscisses.

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Exercice 3 — Dérivée et optimisation

Objectif pédagogique : Utiliser la dérivée pour résoudre un problème d’optimisation.
Consigne pour l’élève : Un rectangle a un périmètre de 20 m. Exprimez son aire en fonction de sa longueur ( x ), puis trouvez les dimensions qui maximisent cette aire.
Exercice à réaliser :

1. Exprimez l’aire ( A(x) ) en fonction de ( x ).
2. Trouvez la dérivée ( A’(x) ) et annulez-la pour trouver les points critiques.
3. Déterminez si ce point critique correspond à un maximum.
   Matériel requis : Aucun
   Temps estimé : 20 minutes
   Corrigé détaillé :
4. ( A(x) = x(10 – x) = 10x – x^2 )
5. ( A’(x) = 10 – 2x ) → ( A’(x) = 0 ) donne ( x = 5 ).
6. ( A’'(x) = -2 < 0 ) → maximum. Dimensions : ( 5 times 5 ) m.
   Différenciation pédagogique :

• Remédiation : Simplifier le problème (ex : périmètre de 10 m).
• Approfondissement : Étendre à un rectangle avec une contrainte supplémentaire (ex : rapport longueur/largeur fixe).

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🔗 Ressources complémentaires :