Lycée – 2de – Mathématiques – fais moi des problèmes complexes imbriquant logique (récipro… (Fiche pédagogique)

Exercice 1 — Analyse d’affirmations

Objectif pédagogique : Comprendre et utiliser une assertion, sa réciproque, sa contraposée et sa négation dans le contexte des intervalles de nombres réels.

Consigne pour l’élève : Évaluez chaque assertion donnée, rédigez sa réciproque, sa contraposée et sa négation. Indiquez si chacune d’entre elles est vraie ou fausse.

Exercice à réaliser :

• Assertion : Si (x in [0, 5]), alors (x^2 leq 25).

Matériel requis : Aucun

Temps estimé : 20 minutes

Corrigé détaillé :

• Réciproque : Si (x^2 leq 25), alors (x in [0, 5]).
  • Cette réciproque est fausse. Par exemple, (x = -4) satisfait (x^2 leq 25) mais n’appartient pas à ([0, 5]).
• Contraposée : Si (x^2 > 25), alors (x notin [0, 5]).
  • Cette contraposée est vraie. Si (x^2 > 25), alors (x) ne peut être entre 0 et 5.
• Négation : Il existe un (x in [0, 5]) tel que (x^2 > 25).
  • Cette négation est fausse. Aucun (x) dans ([0, 5]) ne vérifie (x^2 > 25).

Différenciation pédagogique :

• Remédiation : Proposez à l’élève de visualiser sur une droite numérique les carrés des entiers pour comprendre l’influence de l’intervalle sur les valeurs possibles.
• Approfondissement : Demandez d’évaluer ces assertions pour différents types d’ensembles : ([a, b]), ({a}), et (mathbb{R}).

Exercice 2 — Propositions logiques avec intervalles ouverts

Objectif pédagogique : Manipuler les concepts de logique (assertion originale, réciproque, contraposée, négation) appliqués aux intervalles ouverts sur la droite des réels.

Consigne pour l’élève: Pour chaque affirmation sur les intervalles, trouvez la réciproque, la contraposée et la négation. Déterminez la vérité de chaque proposition dérivée.

Exercice à réaliser :

• Assertion : Si (x in (2, 7)), alors (x > 2).

Matériel requis : Aucun

Temps estimé : 25 minutes

Corrigé détaillé :

• Réciproque : Si (x > 2), alors (x in (2, 7)).
  • Cette réciproque est fausse. Par exemple, (x = 10) est supérieur à 2 mais n’appartient pas à ((2, 7)).
• Contraposée : Si (x leq 2), alors (x notin (2, 7)).
  • Cette contraposée est vraie. Si (x leq 2), il ne peut appartenir à l’intervalle ((2, 7)).
• Négation : Il existe un (x in (2, 7)) tel que (x leq 2).
  • Cette négation est fausse, car tous (x) dans ((2, 7)) sont strictement supérieurs à 2.

Différenciation pédagogique :

• Remédiation : Utilisez des exemples avec des nombres concrets pour illustrer subtilement comment les propriétés changent entre différents types d’intervalles.
• Approfondissement : Explorez les conséquences pour (x in (-infty, 2) cup (7, infty)) pour identifier des groupes de nombres qui respectent ou violent ces relations.

Exercice 3 — Comparaison d’expressions sur des ensembles

Objectif pédagogique : Articuler contraposée, négation et réciproque dans des affirmations qui couvrent différents intervalles dans (mathbb{R}).

Consigne pour l’élève : Élaborez pour chaque énoncé sa réciproque, sa contraposée et sa négation. Indiquez la véracité de chaque proposition et justifiez votre réponse.

Exercice à réaliser :

• Assertion : Si (x in [-3, 4]), alors (x^3 leq 64).

Matériel requis : Aucun

Temps estimé : 30 minutes

Corrigé détaillé :

• Réciproque : Si (x^3 leq 64), alors (x in [-3, 4]).
  • Cette réciproque est fausse. Par exemple, pour (x = 5), (x^3 leq 64) n’est pas vérifié alors que pour (x = 3), cela fonctionne.
• Contraposée : Si (x^3 > 64), alors (x notin [-3, 4]).
  • Cette contraposée est vraie. Si (x^3) dépasse 64, clairement, (x) doit dépasser 4.
• Négation : Il existe un (x in [-3, 4]) tel que (x^3 > 64).
  • Cette négation est fausse, car aucun (x leq 4) ne vérifie (x^3 > 64).

Différenciation pédagogique :

• Remédiation : Aidez l’élève à comprendre la fonction cubique en dessinant une table de valeurs pour ([x, x^3]) et en repérant les seuils critiques.
• Approfondissement : Incitez l’élève à explorer des affirmations similaires pour (x^n) afin d’étudier leur comportement, en particulier les seuils pour (n = 4, 5, 6).

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Ressources complémentaires :