Collège – 3e – Mathématiques – Pythagore

Exercice 1 — Calcul direct avec le théorème de Pythagore

Objectif pédagogique : Savoir appliquer le théorème de Pythagore pour calculer la longueur d’un côté dans un triangle rectangle.

Consigne pour l’élève : Dans un triangle ABC rectangle en A, on connaît les longueurs des côtés : AB = 6 cm et AC = 8 cm. Calcule la longueur du côté BC.

Exercice à réaliser :

• Utilise le théorème de Pythagore pour trouver la longueur de BC, sachant que BC est l’hypoténuse.
• Justifie chaque étape de ton calcul.

Matériel requis : Aucun

Temps estimé : 10 minutes

Corrigé détaillé :
Le théorème de Pythagore s’énonce : dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse (BC) est égal à la somme des carrés de l’autre côté (AB) et AD :

[ BC² = AB² + AC² ]
[ BC² = 6² + 8² ]
[ BC² = 36 + 64 ]
[ BC² = 100 ]
[ BC = sqrt{100} = 10 ]

La longueur de BC est 10 cm.

Différenciation pédagogique :

• Remédiation : Vérifier la compréhension du vocabulaire lié aux triangles rectangles et à l’hypoténuse.
• Approfondissement : Proposer de trouver la longueur de l’hypoténuse pour un triangle avec des côtés de longueurs différentes.

Exercice 2 — Problème concret avec Pythagore

Objectif pédagogique : Utiliser le théorème de Pythagore dans une situation pratique.

Consigne pour l’élève : Un jardinier souhaite vérifier que les coins de son nouveau parterre de fleurs carré sont bien rectangulaires. Il mesure un côté du carré à 5 m. Quelle devrait être la mesure diagonale pour confirmer que le parterre est bien carré ?

Exercice à réaliser :

• Détermine la longueur de la diagonale en utilisant le théorème de Pythagore.
• Explique la méthode que tu as utilisée.

Matériel requis : Aucun

Temps estimé : 15 minutes

Corrigé détaillé :
Le parterre est carré, donc nous formons un triangle rectangle avec deux côtés égaux :
Soit côté = 5 m.

[ d² = 5² + 5² ]
[ d² = 25 + 25 ]
[ d² = 50 ]
[ d = sqrt{50} = 5sqrt{2} approx 7.07 text{ m} ]

La longueur diagonale devrait être environ 7,07 m.

Différenciation pédagogique :

• Remédiation : Utiliser des carrés plus petits pour renforcer la compréhension de la diagonale dans un carré.
• Approfondissement : Proposer de vérifier la diagonale pour d’autres polygones réguliers.

Exercice 3 — Raisonnement inverse avec Pythagore

Objectif pédagogique : Déduire qu’un triangle est rectangle à partir des mesures de ses côtés.

Consigne pour l’élève : Trois côtés mesurent 7 cm, 24 cm et 25 cm. Prouve que ce triangle est un triangle rectangle.

Exercice à réaliser :

• Indique quel côté semble être l’hypoténuse.
• Montre que le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Matériel requis : Aucun

Temps estimé : 15 minutes

Corrigé détaillé :
Supposons que 25 cm soit l’hypoténuse, nous vérifions si :
[ 25² = 7² + 24² ]
[ 625 = 49 + 576 ]
[ 625 = 625 ]

Le carré de l’hypoténuse (25 cm) est bien égal à la somme des carrés des deux autres côtés, donc le triangle est rectangle.

Différenciation pédagogique :

• Remédiation : Revoir la méthode pour identifier l’hypoténuse dans les triangles.
• Approfondissement : Proposer de trouver un ensemble de trois mesures qui ne forment pas un triangle rectangle et expliquer pourquoi.

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🔗 Ressources complémentaires :