Collège – 3e – Mathématiques – Problème de maximum avec les fonctions

Exercice 1 — Étude d’une fonction polynomiale

Objectif pédagogique : Comprendre comment déterminer le maximum d’une fonction polynomiale de degré 2.

Consigne pour l’élève : Voici la fonction ( f(x) = -2x^2 + 4x + 1 ). Étudiez cette fonction pour déterminer son maximum ainsi que sa forme canonique.

Exercice à réaliser :

• 1. Calculez les coordonnées du sommet de la parabole représentée par la fonction.
• 2. Écrivez la fonction sous sa forme canonique ( f(x) = a(x-h)^2 + k ).
• 3. Déterminez la valeur maximale de ( f(x) ).

Matériel requis : Aucun

Temps estimé : 20 minutes

Corrigé détaillé :

• 1. Les coordonnées du sommet de la parabole sont données par ( h = -frac{b}{2a} ). Ici ( a = -2 ), ( b = 4 ). Donc, ( h = frac{-4}{2 times -2} = 1 ).
• 2. Pour trouver la forme canonique, remplaçons ( x ) par 1 dans l’expression:
     ( f(1) = -2(1)^2 + 4(1) + 1 = 3 ). La forme canonique est donc ( f(x) = -2(x-1)^2 + 3 ).
• 3. La valeur maximale est donc 3, atteinte pour ( x = 1 ).

Différenciation pédagogique :

• Remédiation : Revoir les propriétés des fonctions quadratiques et les opérations de base associées.
• Approfondissement : Étudier une fonction polynomiale de degré 3 et analyser son comportement (maximum, minimum, points d’inflexion).

Exercice 2 — Maximisations avec une fonction définie par morceaux

Objectif pédagogique : Travailler sur les fonctions définies par morceaux pour déterminer des points de maximum.

Consigne pour l’élève: Une fonction est définie par morceaux de la façon suivante :
[ f(x) =
begin{cases}
3x + 2 & text{si } x leq 2
5 – x^2 & text{si } x > 2
end{cases}
]
Étudiez cette fonction pour identifier ses points de maximum.

Exercice à réaliser :

• 1. Représentez graphiquement la fonction en assurant la continuité entre les morceaux.
• 2. Déterminez les points de maximum de chaque morceau.
• 3. Comparez ces maximums pour en déduire le maximum global de la fonction.

Matériel requis : Aucun

Temps estimé : 30 minutes

Corrigé détaillé :

• 1. Pour ( x leq 2 ), la fonction est une droite croissante; elle atteint 8 à ( x = 2 ).
• 2. Pour ( x > 2 ), la fonction ( 5-x^2 ) est une parabole inversée atteignant son sommet à ( x = 0 ) avec un maximum de 5.
• 3. En comparant 8 et le sommet de l’autre segment (5), le maximum global est 8 lorsque ( x = 2 ).

Différenciation pédagogique :

• Remédiation : Utiliser des représentations graphiques pour mieux visualiser les fonctions par morceaux.
• Approfondissement : Considérer des fonctions définies par trois ou plus morceaux pour une analyse plus avancée.

Exercice 3 — Optimisation en contexte

Objectif pédagogique : Appliquer l’optimisation dans un problème de contexte en utilisant une fonction quadratique.

Consigne pour l’élève : Un agriculteur possède 200 mètres de clôture pour construire un enclos rectangulaire le long d’une rivière. La rivière forme un bord du rectangle et n’a pas besoin de clôture. Trouvez les dimensions du rectangle qui maximisent l’aire.

Exercice à réaliser :

• 1. Établissez une fonction représentant l’aire de l’enclos en fonction de sa largeur.
• 2. Identifiez la largeur qui maximise cette fonction.
• 3. Calculez l’aire maximale possible.

Matériel requis : Aucun

Temps estimé : 25 minutes

Corrigé détaillé :

• 1. Si ( x ) est la largeur, alors la longueur est ((200 – 2x)/2). L’aire ( A(x) = x(200 – 2x)/2 = 100x – x^2 ).
• 2. La dérivée ( A’(x) = 100 – 2x ), en la résolvant avec ( A’(x) = 0 ), on obtient ( x = 50 ).
• 3. L’aire maximale est ( 100 times 50 – 50^2 = 2500 ).

Différenciation pédagogique :

• Remédiation : Illustrer le problème avec des exemples concrets et simplifiés.
• Approfondissement : Introduire des contraintes supplémentaires, telles qu’une clôture supplémentaire à l’intérieur du rectangle pour créer deux enclos.

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Ressources complémentaires :