Collège – 3e – Mathématiques – fait bcp dexo sur ca : Théorème de Pythagore, d’Euclide et de la hauteur 1. Rappel sur les triangles (médianes, médiatrices, hauteurs, bissectrices, cercle inscrit et circonscrit) et sur les triangles rectangles 2. Énoncer les théorèmes de Pythagore, d’Euclide et de la hauteur 3. Application des trois théorèmes 4. Utilisation pour résoudre des problèmes o Trigonométrie 1. Relations trigonométriques dans un triangle rectangle 2. Utilisation de ces relations pour résoudre des problèmes générauxEnsembles de nombres, puissances et racines 1. Rappel des différents ensembles de nombres et de leurs éléments 2. Rappel des opérations d’addition, soustraction, multiplication, division, exponentiation (exposants positifs et négatifs), extraction de racine et propriétés avec les nombres fractionnaires 3. Respect des priorités des opérations 4. Puissances de 10 et notation scientifique 5. Étude de l’extraction de racines 6. Rendre rationnel le dénominateur d’une fraction avec des racines carrées ; avec des racines cubiques 7. Rechercher la valeur numérique d’une expression o Monômes, polynômes et factorisation 1. Vocabulaire, définitions et convention d’écriture 2. Opérations avec les monômes et polynômes : addition, soustraction, produit (distributivité simple et double), puissance et division de monôme 3. Identités remarquables : les quatre identités remarquables de degré 2, les quatre identités remarquables de degré 3, ainsi que l’identité de Sophie Germain 4. Factorisation par mise en évidence, par les identités remarquables et par groupement 5. Développement par les identités remarquables 6. Application des identités remarquables (rationalisation, nombre premier) 7. Opérations avec les fractions rationnelles (multiplication et division)

Exercice 1 — Application du théorème de Pythagore

Objectif pédagogique : Appliquer le théorème de Pythagore pour calculer des longueurs dans un triangle rectangle.
Consigne pour l’élève : Résous les problèmes suivants en utilisant le théorème de Pythagore. Justifie chaque réponse.
Exercice à réaliser :

1. Dans un triangle rectangle ABC, rectangle en A, AB = 5 cm et AC = 12 cm. Calculez BC.
2. Un triangle rectangle DEF a pour hypoténuse DF = 13 cm et un côté DE = 5 cm. Calculez EF.
3. Un triangle rectangle GHI a pour côtés GH = 8 cm et HI = 6 cm. Calculez GI.
   Matériel requis : Aucun
   Temps estimé : 15 minutes
   Corrigé détaillé :
4. BC² = AB² + AC² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169 → BC = √169 = 13 cm.
5. EF² = DF² – DE² = 13² – 5² = 169 – 25 = 144 → EF = √144 = 12 cm.
6. GI² = GH² + HI² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100 → GI = √100 = 10 cm.
   Différenciation pédagogique :

• Remédiation : Proposer des triangles avec des côtés entiers pour faciliter les calculs.
• Approfondissement : Demander de vérifier si un triangle donné est rectangle en utilisant la réciproque du théorème de Pythagore.

Exercice 2 — Résolution de problèmes avec les relations trigonométriques

Objectif pédagogique : Utiliser les relations trigonométriques (sinus, cosinus, tangente) pour résoudre des problèmes dans un triangle rectangle.
Consigne pour l’élève : Résous les problèmes suivants en utilisant les relations trigonométriques. Donne les réponses sous forme de fractions simplifiées si nécessaire.
Exercice à réaliser :

1. Dans un triangle rectangle ABC, rectangle en A, AB = 6 cm et BC = 10 cm. Calculez l’angle B.
2. Un triangle rectangle DEF a pour angle D = 30° et DE = 5 cm. Calculez DF.
3. Un triangle rectangle GHI a pour angle G = 45° et HI = 8 cm. Calculez GH.
   Matériel requis : Calculatrice (pour les angles)
   Temps estimé : 20 minutes
   Corrigé détaillé :
4. cos(B) = AB/BC = 6/10 = 3/5 → B ≈ 53,13° (arrondi au centième).
5. DF = DE / cos(30°) = 5 / (√3/2) = 10/√3 ≈ 5,8 cm.
6. GH = HI / tan(45°) = 8 / 1 = 8 cm.
   Différenciation pédagogique :

• Remédiation : Fournir un tableau des valeurs trigonométriques pour les angles courants.
• Approfondissement : Demander de calculer les autres angles et côtés du triangle.

Exercice 3 — Factorisation et développement d’expressions

Objectif pédagogique : Factoriser et développer des expressions en utilisant les identités remarquables.
Consigne pour l’élève : Factorise ou développe les expressions suivantes selon les consignes données.
Exercice à réaliser :

1. Développe (x + 3)².
2. Factorise 4x² – 9.
3. Développe (2x – 1)(3x + 4).
4. Factorise 2x³ – 8x² + 8x.
   Matériel requis : Aucun
   Temps estimé : 15 minutes
   Corrigé détaillé :
5. (x + 3)² = x² + 6x + 9.
6. 4x² – 9 = (2x)² – 3² = (2x – 3)(2x + 3).
7. (2x – 1)(3x + 4) = 6x² + 8x – 3x – 4 = 6x² + 5x – 4.
8. 2x³ – 8x² + 8x = 2x(x² – 4x + 4) = 2x(x – 2)².
   Différenciation pédagogique :

• Remédiation : Proposer des expressions plus simples avec des coefficients entiers.
• Approfondissement : Demander de résoudre des équations en utilisant la factorisation.

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Ressources complémentaires :