Collège – 3e – Mathématiques – avec pgcd (Fiche pédagogique)

Exercice 1 — Calcul de PGCD à partir de deux nombres

Objectif pédagogique : Utiliser la méthode de soustraction pour calculer le PGCD de deux nombres.

Consigne pour l’élève : Tu dois utiliser la méthode de soustraction répétée pour trouver le plus grand diviseur commun (PGCD) de 96 et 64. Note chaque étape de tes calculs.

Exercice à réaliser :

• Calcule le PGCD de 96 et 64 en utilisant la soustraction répétée.
• Écris chaque soustraction que tu effectues jusqu’à atteindre le PGCD.

Matériel requis : Aucun

Temps estimé : 10 minutes

Corrigé détaillé :

1. Soustrais le plus petit nombre du plus grand :
   • (96 – 64 = 32)
2. Remplace le plus grand nombre par cette différence :
   • Nouvelles valeurs : 64 et 32
3. Répète l’opération :
   • (64 – 32 = 32)
4. Continue avec les nouvelles valeurs :
   • (32 – 32 = 0)
5. Le PGCD est le dernier nombre utilisé avant d’atteindre zéro, soit 32.

Différenciation pédagogique :

• Remédiation : Réexplique la méthode de soustraction répétée avec un exemple plus simple (calculer le PGCD de 12 et 8).
• Approfondissement : Demande aux élèves d’expliquer pourquoi la méthode de soustraction fonctionne pour trouver le PGCD, en les poussant à formuler un raisonnement mathématique.

Exercice 2 — Application de l’algorithme d’Euclide

Objectif pédagogique: Maîtriser l’algorithme d’Euclide pour trouver le PGCD de plusieurs nombres.

Consigne pour l’élève : Utilise l’algorithme d’Euclide pour déterminer le PGCD de 270 et 192. Note chaque étape du calcul jusqu’à trouver le résultat.

Exercice à réaliser :

• Applique l’algorithme d’Euclide : divise le plus grand nombre par le plus petit et répète l’opération avec le reste jusqu’à obtenir zéro.
• Note précisément chaque opération de division et chaque reste.

Matériel requis : Aucun

Temps estimé : 15 minutes

Corrigé détaillé :

1. Divise 270 par 192, le quotient est 1, le reste est 78.
   • (270 = 192 times 1 + 78)
2. Remplace 270 par 192 et 192 par 78 :
   • Divise 192 par 78, le quotient est 2, le reste est 36.
   • (192 = 78 times 2 + 36)
3. Continue avec ces nouvelles valeurs :
   • Divise 78 par 36, le quotient est 2, le reste est 6.
   • (78 = 36 times 2 + 6)
4. Poursuis l’opération :
   • Divise 36 par 6, le quotient est 6, le reste est 0.
   • (36 = 6 times 6 + 0)
5. Le PGCD est le dernier reste non nul : 6.

Différenciation pédagogique :

• Remédiation : Propose l’algorithme d’Euclide sur des nombres plus simples, comme 48 et 18.
• Approfondissement : Demande aux élèves de tester l’algorithme d’Euclide sur trois nombres, en les calculant deux par deux.

Exercice 3 — Résolution de problème avec PGCD

Objectif pédagogique : Appliquer la notion de PGCD à un problème de répartition.

Consigne pour l’élève : Tu disposes de 120 pommes et 90 oranges. Trouve le plus grand nombre de paniers identiques que tu peux préparer en utilisant toutes les pommes et oranges, sachant que chaque panier doit contenir le même nombre de pommes et le même nombre d’oranges.

Exercice à réaliser :

• Calcule le PGCD de 120 et 90.
• Détermine combien de pommes et combien d’oranges iront dans chaque panier.

Matériel requis : Aucun

Temps estimé : 20 minutes

Corrigé détaillé :

1. Calcule le PGCD de 120 et 90 avec l’algorithme d’Euclide.
   • 120 ÷ 90 donne un reste de 30.
   • 90 ÷ 30 donne un reste de 0.
   • Le PGCD est donc 30.
2. Sachant qu’il y a 30 paniers, détaille combien de chaque fruit ira dans chaque panier :
   • (120 div 30 = 4) pommes par panier.
   • (90 div 30 = 3) oranges par panier.

Différenciation pédagogique :

• Remédiation : Propose un problème similaire avec des quantités et exemples réduits, comme 12 pommes et 15 oranges.
• Approfondissement : Modifie le problème en demandant au lieu des mêmes planches de déterminer ce qui se passe s’il n’est pas possible de répartir également (exemple : 115 pommes et 90 oranges), pour introduire la notion de compensation ou de regroupement partiel.

---

Ressources complémentaires :